Encontre uma solução particular para as equaçÔes abaixo.
y^prime prime prime+y^prime prime-2 y=t e^t

Passo 1

Estamos lidando com a EDO linear de 3º ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo t e^t. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.

Passo 2

A parte homogênea tem equação característica r^3 + r^2 - 2 = 0. Fatorando, (r-1)(r^2+2r+2)=0, obtemos raízes r=1 e r=-1,pm i. Como r=1 é raiz simples, há ressonância de ordem 1 com e^t.

Passo 3

Para o termo forçante t e^t, que é polinômio de grau 1 vezes e^t, e considerando a ressonância de ordem 1, propomos a ansatz:
yp(t) = (A t^2 + B t),e^t

Passo 4

Chamando U(t)=A t^2 + B t, escrevemos
yp = U e^t,
então a combinação que aparece na EDO é
yp''' + yp'' - 2yp = e^tigl(U''' + 4U'' + 5U'r) 

Passo 5

Calculando as derivadas de U:
U' = 2At + B,
U'' = 2A,
U''' = 0
Substituindo:
U''' + 4U'' + 5U' = 0 + 4cdot(2A) + 5(2At + B) = 10A t + (8A + 5B)

Passo 6

Igualando com o termo forçante t e^t:
e^tl(10A t + (8A+5B)r) = t e^t
Isso dá o sistema
10A = 1 e 8A + 5B = 0.
Assim, A = tfrac110 e B = -tfrac425

Passo 7

Portanto a solução particular é:
yp(t) = l(tfrac110t^2 - tfrac425tr)e^t

Resposta

yp(t) = l(tfrac110t^2 - tfrac425tr)e^t

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