Encontre uma solução particular para as equaçÔes abaixo.
y^prime prime(theta)-7 y^prime(theta)=theta^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução particular da EDO de segunda ordem não homogênea
y''(theta)-7y'(theta)=theta^2
O conteúdo é resolução de EDO linear de coeficientes constantes usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Como primeiro passo de fato usamos o método dos coeficientes a determinar. A parte homogênea tem equação característica
r(r-7)=0
cuja raiz r=0 faz com que a solução complementar tenha termo constante. Como o termo não homogêneo theta^2 é um polinômio de grau 2 e 0 é raiz da característica, multiplicamos o palpite padrão por theta. Assim propomos em bloco
yp(theta)=Atheta^3+Btheta^2+Ctheta

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de yp:
yp'(theta)=3Atheta^2+2Btheta+C,
yp''(theta)=6Atheta+2B
Substituindo na EDO:
yp''-7yp'=(6Atheta+2B)-7(3Atheta^2+2Btheta+C)
=-21Atheta^2+(6A-14B)theta+(2B-7C)

Passo 4

Igualando com o lado direito theta^2, montamos o sistema de coeficientes:
-21A=1,
6A-14B=0,
2B-7C=0
Resolvendo: A=-1/21, B=-1/49 e C=-2/343.

Passo 5

Portanto, uma solução particular é
yp(theta)=-121theta^3-149theta^2-2343theta

Resposta

yp(theta)=-tfrac121theta^3-tfrac149theta^2-tfrac2343theta

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