Encontre uma solução particular para as equaçÔes abaixo.
x^prime prime(t)-4 x^prime(t)+4 x(t)=t e^2 t

Passo 1

Estamos resolvendo a EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
x’’(t) - 4x’(t) + 4x(t) = t e^{2t}. O conteúdo é método dos coeficientes a determinar e vamos precisar conhecer as raízes da equação característica associada e a forma de proposta para a solução particular.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea é r^2 - 4r + 4 = 0, que tem raiz dupla r = 2. Assim, a solução complementar é C₁ e^{2t} + C₂ t e^{2t}. Como o termo não homogêneo é t e^{2t}, que ressoa com e^{2t} de multiplicidade 2, propomos uma solução particular da forma
xp(t) = (A t^3 + B t^2) e^2t

Passo 3

Calculamos agora as derivadas de x_p(t): definindo f(t)=A t^3 + B t^2, temos
xp = e^2t f(t),
xp' = e^2t [2f(t) + f'(t)] = e^2t [2A t^3 + (3A + 2B) t^2 + 2B t],
xp'' = e^2t [2(2A t^3 + (3A + 2B) t^2 + 2B t) + (6A t^2 + 2(3A+2B)t + 2B)] = e^2t [4A t^3 + (12A+4B) t^2 + (6A+8B) t + 2B]

Passo 4

Substituímos no lado esquerdo L[x_p]=x_p’’ - 4x_p’ + 4x_p. Como todos os termos têm fator e^{2t}, obtemos internamente
4A t^3 + (12A+4B) t^2 + (6A+8B) t + 2B -4[2A t^3 + (3A+2B) t^2 + 2B t] +4[A t^3 + B t^2] = (6A t + 2B)
Logo, L[x_p] = e^{2t}(6A t + 2B), que deve ser igual a t e^{2t}.

Passo 5

Igualando coeficientes de t e termo constante no interior do colchete, temos
6A = 1,
2B = 0,
portanto A = 1/6 e B = 0. Assim, a parte polinomial extra desaparece em B.

Passo 6

Com A=1/6 e B=0, encontramos a solução particular

Resposta

xp(t) = t^36 ,e^2t

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