Encontre uma solução particular para as equaçÔes abaixo.
Passo 1
Estamos resolvendo a EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
x’’(t) - 4x’(t) + 4x(t) = t e^{2t}. O conteúdo é método dos coeficientes a determinar e vamos precisar conhecer as raízes da equação característica associada e a forma de proposta para a solução particular.
x’’(t) - 4x’(t) + 4x(t) = t e^{2t}. O conteúdo é método dos coeficientes a determinar e vamos precisar conhecer as raízes da equação característica associada e a forma de proposta para a solução particular.
Passo 2
A equação característica da parte homogênea é r^2 - 4r + 4 = 0, que tem raiz dupla r = 2. Assim, a solução complementar é C₁ e^{2t} + C₂ t e^{2t}. Como o termo não homogêneo é t e^{2t}, que ressoa com e^{2t} de multiplicidade 2, propomos uma solução particular da forma
Passo 3
Calculamos agora as derivadas de x_p(t): definindo f(t)=A t^3 + B t^2, temos
Passo 4
Substituímos no lado esquerdo L[x_p]=x_p’’ - 4x_p’ + 4x_p. Como todos os termos têm fator e^{2t}, obtemos internamente
Logo, L[x_p] = e^{2t}(6A t + 2B), que deve ser igual a t e^{2t}.
Passo 5
Igualando coeficientes de t e termo constante no interior do colchete, temos
portanto A = 1/6 e B = 0. Assim, a parte polinomial extra desaparece em B.
Passo 6
Com A=1/6 e B=0, encontramos a solução particular