Encontre uma solução particular para as equaçÔes abaixo.
y^prime prime-2 y^prime+y=8 e^t

Passo 1

Estamos resolvendo a EDO linear de coeficientes constantes y'' - 2y' + y = 8e^t. O conteúdo é método dos coeficientes a determinar, e vamos precisar da solução homogênea para escolher o formato adequado de solução particular.

Passo 2

Escrevendo a equação característica da parte homogênea:
r^2 - 2r + 1 = 0

Passo 3

Isso é (r-1)^2 = 0, raiz dupla r=1. Logo, a solução homogênea é
yh = C1 e^t + C2 t e^t

Passo 4

Como o termo não homogêneo é 8e^t e e^t já aparece como raiz dupla, o palpite para a solução particular é
yp = A t^2 e^t

Passo 5

Calculando as derivadas:

Passo 6

Substituindo em y'' - 2y' + y:

Passo 7

Igualando a 8e^t obtemos 2A = 8, então A = 4.

Resposta

yp(t) = 4t^2 e^t

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