Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.
F(s)=2 e^- 2 ss^2-1

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de F(s)=2e^-2ss^2-1. O conteúdo é a transformada de Laplace inversa e o teorema do deslocamento no tempo (ou segunda propriedade de deslocamento). Vamos precisar lembrar que L^-1[e^-asG(s)] = g(t-a)u(t-a) e também a transformada inversa de 1/(s^2-1).

Passo 2

Reconhecemos que F(s) está na forma e^-2sG(s), com G(s)=2s^2-1. Pelo teorema do deslocamento, se g(t)=L^-1[G(s)], então f(t)=L^-1[F(s)]=g(t-2),u(t-2), onde u(t-2) é o degrau unitário deslocado.

Passo 3

Precisamos achar g(t)=L^-1l[tfrac2s^2-1r]. Sabemos que
[\mathcal{L}{\sinh(t)}=\frac{1}{s^2-1}]
e portanto multiplicando por 2:
[\mathcal{L}{2\sinh(t)}=\frac{2}{s^2-1}]
Logo, g(t)=2sinh(t).

Passo 4

Aplicando o deslocamento no tempo, a inversa de F(s) é
[f(t)=g(t-2),u(t-2)=2\sinh(t-2),u(t-2)]

Resposta

f(t)=2\sinh(t-2),u(t-2)

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