Para cada um dos números complexos abaixo, calcule o valor de theta=arg (z).
z=j-2-2 j

Passo 1

O enunciado pede para calcular o argumento theta=arg(z) do número complexo z=dfracj-2-2j. O conteúdo envolve números complexos, em particular o cálculo do argumento. Para resolver precisamos escrever z na forma a + jb e usar a definição de arg(z).

Passo 2

Vamos simplificar z e escrevê-lo em forma cartesiana. Primeiro fatoramos o denominador:
z=j-2-2j=j-2(1+j)=-j2(1+j)

Passo 3

Em seguida racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 1+j:
-j2(1+j)cdot1-j1-j=-j(1-j)2[(1+j)(1-j)]=-j(1-j)2cdot2=-j(1-j)4

Passo 4

Como
-,j(1-j)=-j+j^2=-j-1=-(1+j)
seguimos para
z=-1+j4=-14-j4

Passo 5

Agora identificamos as partes real e imaginária: Re(z)=-tfrac14 e Im(z)=-tfrac14. Como ambas são negativas, z está no terceiro quadrante.

Passo 6

O argumento bruto é dado por
$$\theta_{bruto}=\arctan\Bigl(\frac{\Im(z)}{\Re(z)}\Bigr)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}
$$

Passo 7

No terceiro quadrante somamos pi a esse valor:
thetabruto=pi+pi4=5pi4

Passo 8

Para obter o argumento principal no intervalo ( -pi,pi ] subtrai-se 2pi, ou reconhece-se que 5pi/4 equivale a -3pi/4.

Resposta

-3pi4

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