Encontre a solução do Problema de valor inicial.
t^2 d xd t+3 t x=t^4 ln t+1 ; x(1)=0 ;

Passo 1

Temos o PVI t^2 dxdt + 3t x = t^4 ln t + 1, com condição inicial x(1)=0. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo a equação por t^2 (para t>0), obtemos dxdt + 3t x = t^2 ln t + t^-2. Aqui identificamos P(t)=3/t e Q(t)=t^2 ln t + t^-2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(integral 3t,dtr)=exp(3ln t)=t^3

Passo 4

Multiplicamos a EDO por mu(t), obtendo
t^3dxdt+3t^2x = t^3l(t^2ln t + t^-2r) = t^5ln t + t
O lado esquerdo é ddt(t^3x).

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral ddt(t^3x),dt = integral (t^5ln t + t),dt
Para integral t^5ln t,dt usamos partes com u=ln t, dv=t^5dt, resultando em t^66ln t - t^636. E integral t,dt=t^22. Logo:
t^3x = t^66ln t - t^636 + t^22 + C

Passo 6

Isolando x:
x = t^36ln t - t^336 + 12t^-1 + C,t^-3

Passo 7

Aplicamos x(1)=0:
0 = 16ln1 - 136 + 12 + C implies C = -1736

Passo 8

Substituindo em x(t), obtemos a solução particular:
x(t) = t^36ln t - t^336 + 12t - 1736t^3

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