Mostre que x y^3(1-sen(x))=1 é uma solução implícita para
d yd x=(x cos x+sen x-1) y3(x-x sen x),
no intervalo (0, pi / 2).

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que a curva definida implicitamente por x,y^3,(1-sen(x))=1 satisfaz a EDO dydx=(xcos x+sen x-1)y3(x - xsen x) no intervalo (0,pi/2). O conteúdo é verificação de solução implícita usando diferenciação implícita.

Passo 2

Começamos diferenciando implicitamente a relação x,y^3,(1-sen(x))=1. Aplicando a regra do produto em três fatores:
ddxl[xr];y^3(1-sen(x)) + x;ddxl[y^3r];(1-sen(x)) + x;y^3;ddxl[1-sen(x)r] =0
Calculando cada derivada: ddx[x]=1, ddx[y^3]=3y^2,y' e ddx[1-sen(x)]= -cos x. Substituindo,
y^3(1-sen(x)) + xcdot3y^2y'(1-sen(x)) + x,y^3(-cos x) =0
Isolando o termo com y':
3xy^2y'(1-sen(x)) = x,y^3cos x - y^3(1-sen(x))

Passo 3

Fatorando y^3 no numerador e xy^2(1-sen(x)) no denominador, obtemos
y' = y^3l(xcos x - (1-sen(x))r)3x,y^2(1-sen(x)) = yl(xcos x + sen(x)-1r)3x(1-sen(x))

Passo 4

Como 3x(1-sen(x)) = 3(x - xsen(x)), essa expressão coincide exatamente com a EDO dada, mostrando que a curva implícita é solução.

Resposta

Como a derivada y' obtida coincide com o lado direito da EDO, concluímos que x,y^3(1-sen(x))=1 é de fato uma solução implícita no intervalo solicitado.

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