Resolva os problemas de valor inicial
$ (x-y) y^{\prime}=x-y-2, \quad y(1)=1$
$ (x-y) y^{\prime}=x-y-2, \quad y(1)=1$
Passo 1
Estamos lidando com um problema de valor inicial para uma equação diferencial de primeira ordem não-linear:
, com
. Vamos usar uma mudança de variável para simplificar.
Passo 2
Observe que aparece sempre o termo
. Definimos
. Como
, temos
Passo 3
Substituindo na equação original:
e o lado direito é
Passo 4
Cancelando
de ambos os lados (note que isso não perde soluções desde que examinemos depois o caso
), obtemos
Isso é separável. Escrevemos
e integramos:
Passo 5
Ou seja
Passo 6
Voltemos a
. A condição inicial
dá
. Então
Passo 7
Logo
Passo 8
Isso gera duas possibilidades de ramo:
Passo 9
Resolvendo para
:
definidas para
Resposta
As soluções que satisfazem
são