Resolva os problemas de valor inicial
$ (x-y) y^{\prime}=x-y-2, \quad y(1)=1$

Passo 1

Estamos lidando com um problema de valor inicial para uma equação diferencial de primeira ordem não-linear: (x - y) y' = x - y - 2, com y(1)=1. Vamos usar uma mudança de variável para simplificar.

Passo 2

Observe que aparece sempre o termo x - y. Definimos v = x - y. Como y = x - v, temos
y' = dydx = 1 - dvdx

Passo 3

Substituindo na equação original:
(x - y) y' = vl(1 - tfracdvdxr) = v - vdvdx,
e o lado direito é x - y - 2 = v - 2. Então
v - vdvdx = v - 2

Passo 4

Cancelando v de ambos os lados (note que isso não perde soluções desde que examinemos depois o caso v=0), obtemos
-vdvdx = -2Longrightarrow vdvdx = 2
Isso é separável. Escrevemos
v,dv = 2,dx
e integramos:
integral v,dv = integral 2,dx Longrightarrow v^22 = 2x + C

Passo 5

Ou seja
v^2 = 4x + C1, C1 = 2C

Passo 6

Voltemos a v = x - y. A condição inicial y(1)=1 v(1)=1-1=0. Então
0^2 = 4cdot1 + C1 Longrightarrow C1 = -4

Passo 7

Logo
v^2 = 4x - 4 = 4(x-1)

Passo 8

Isso gera duas possibilidades de ramo:
v = x - y = +2raizx-1ou v = x - y = -2raizx-1

Passo 9

Resolvendo para y:
y(x) = x - 2raizx-1ou y(x) = x + 2raizx-1,
definidas para x>=1. Note que a unicidade falha no ponto singular x-y=0, por isso temos esses dois ramos que passam por (1,1).

Resposta

As soluções que satisfazem y(1)=1 são
y(x) = x - 2raizx-1e y(x) = x + 2raizx-1, x>=1

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