Encontre as soluções de
y^prime=1+x+y+x y

Passo 1

No exercício, temos a equação diferencial de primeira ordem y'=1+x+y+xy. O conteúdo aqui é equações diferenciais separáveis, e vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, observe que podemos fatorar o lado direito: 1+x+y+xy=(1+x)(1+y). Então a equação fica
dydx=(1+x)(1+y)

Passo 3

Agora, separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro. Isso dá
dy1+y=(1+x),dx

Passo 4

Integramos ambos os lados: o lado esquerdo é
integraldy1+y=ln|1+y|+C1,
e o lado direito é
integral(1+x),dx=x+x^22+C2
Podemos combinar as constantes de integração em uma só, C=C2-C1.

Passo 5

Igualando as integrais e renomeando a constante, obtemos
ln|1+y|=x+x^22+C
Em seguida, exponenciamos para isolar y:

Passo 6

Aplicando a exponenciação, temos
|1+y|=e^Ce^x+x^22
Como e^C>0, definimos K=pm e^C para absorver o sinal, chegando em
1+y=K e^x+x^22

Passo 7

Por fim, isolamos y:
y(x)=K e^x+x^22-1,
onde K é a constante arbitrária de integração.

Resposta

y(x)=K e{x+\frac{x2}{2}}-1, onde K é a constante de integração.

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