Encontre as soluções de
Passo 1
No exercício, temos a equação diferencial de primeira ordem
. O conteúdo aqui é equações diferenciais separáveis, e vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, observe que podemos fatorar o lado direito: 1+x+y+xy=(1+x)(1+y). Então a equação fica
Passo 3
Agora, separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro. Isso dá
Passo 4
Integramos ambos os lados: o lado esquerdo é
e o lado direito é
Podemos combinar as constantes de integração em uma só,
.
Passo 5
Igualando as integrais e renomeando a constante, obtemos
Em seguida, exponenciamos para isolar y:
Passo 6
Aplicando a exponenciação, temos
Como
, definimos
para absorver o sinal, chegando em
Passo 7
Por fim, isolamos y:
onde
é a constante arbitrária de integração.
Resposta
y(x)=K e{x+\frac{x2}{2}}-1, onde K é a constante de integração.