Encontre a soluçalo geral das equaç̄es diferenciais a seguir
8 d^2 yd x^2+2 d yd x-y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
8 d^2yd x^2 + 2 d yd x - y = 0
O conteúdo é resolução de equações de coeficientes constantes usando a equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^r x. Substituindo na equação diferencial, obtemos a equação característica
8r^2 + 2r - 1 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
8r^2 + 2r - 1 = 0,
usamos a fórmula de Bhaskara r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot8cdot(-1)2cdot8. Calculando o discriminante:
De<a = 4 + 32 = 36,
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r = -2 pm 616

Passo 4

As raízes são
r1 = -2 + 616 = 416 = tfrac14, r2 = -2 - 616 = -816 = -tfrac12
Como as raízes são distintas, a solução geral é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C1 e^tfracx4 + C2 e^-tfracx2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^tfracx4 + C2 e^-tfracx2

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