Resolva a equação diferencial não-homogênea pelo Mêtodo de Variacioio des Parimetros.
3 y^prime prime-6 y^prime+3 y=e^2x^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea
3y''-6y'+3y=e^2x^3
pelo método de variação de parâmetros.
Conteúdo envolvido: solução da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, obtenção da solução geral da homogênea, cálculo do Wronskiano, aplicação das fórmulas
u1'=-y2,gW, u2'=y1,gW,
onde g(x) é o termo não-homogêneo após dividir por 3, e montagem da solução particular yp=u1y1+u2y2.

Passo 2

Primeiro dividimos toda a equação por 3 para obter na forma padrão
y''-2y'+y=e^23,x^3
A equação característica da parte homogênea y''-2y'+y=0 é
r^2-2r+1=0;Longrightarrow;(r-1)^2=0;Longrightarrow;r=1 (mu<iplicidade 2)
Logo um conjunto fundamental de soluções é
y1(x)=e^x, y2(x)=x,e^x,
e a solução geral da homogênea é
yh(x)=C1e^x+C2,x e^x

Passo 3

Aplicamos variação de parâmetros. Aqui
As fórmulas dão

Passo 4

Integramos para obter u1 e u2. Mantemos as integrais indefinidas (constantes absorvidas em C1,C2):
u1(x)=-e^23integrale^-xx^2,dx, u2(x)=e^23integrale^-xx^3,dx
A solução particular fica
yp(x)=u1(x),y1(x)+u2(x),y2(x) =-e^23e^xintegrale^-xx^2,dx +e^23x,e^xintegrale^-xx^3,dx

Passo 5

Portanto, a solução geral da EDO é
y(x)=yh(x)+yp(x) =C1e^x+C2,x e^x -e^23e^xintegrale^-xx^2,dx +e^23x,e^xintegrale^-xx^3,dx

Resposta

boxedy(x)=C1e^x+C2,x e^x -e^23e^xintegrale^-xx^2,dx +e^23x,e^xintegrale^-xx^3,dx

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