Verifique se o conjunto de soluçōes y1, y2 é Linearmente Dependente (L.D) ou Linearmente lndependente (L.I).
[y1(x)=-2 e^3 x, y2(x)=3 e^-2 x]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de duas funções
;y1(x)=-2e^3x; e ;y2(x)=3e^-2x;
é linearmente dependente ou independente. O conteúdo utilizado será o critério do wronskiano para duas soluções de uma EDO linear de segunda ordem.

Passo 2

Definimos o wronskiano de y1,y2 como
W(y1,y2)(x) = y1(x) & y2(x) y1'(x) & y2'(x) = y1(x),y2'(x)-y1'(x),y2(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada função:
y1'(x) =ddxl(-2e^3xr) =-2cdot3e^3x =-6e^3x,
y2'(x) =ddxl(3e^-2xr) =3cdot(-2)e^-2x =-6e^-2x

Passo 4

Substituímos no wronskiano:
W(x) =(-2e^3x)(-6e^-2x)-(-6e^3x)(3e^-2x) =12e^x-(-18e^x) =30e^x

Passo 5

Como ;W(x)=30e^xneq0 para todo xinR, concluímos que as funções não se aniquilam linearmente, ou seja, são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto y1,y2 é linearmente independente.

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