Questão 2 ( 6,0 pontos). Calcule os limites:
lim x +infty raizx^2+6 x+4-x

Passo 1

E aí! Vamos resolver juntos essa questão de limites. O enunciado pede para calcular o limite quando x tende ao infinito da expressão raizx^2 + 6x + 4 - x . Vamos precisar usar conceitos de limites no infinito e manipulação algébrica para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, observe que quando x tende ao infinito, x^2 domina os outros termos dentro da raiz. Então, a expressão raizx^2 + 6x + 4 pode ser simplificada para facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

Vamos fatorar x^2 de dentro da raiz:
raizx^2 + 6x + 4 = raizx^2(1 + 6x + 4x^2) = |x|raiz1 + 6x + 4x^2
Como x tende a +infty , |x| = x . Então, temos:
raizx^2 + 6x + 4 = xraiz1 + 6x + 4x^2

Passo 4

Agora, substituímos de volta na expressão original:
raizx^2 + 6x + 4 - x = xraiz1 + 6x + 4x^2 - x
Fatorando x fora:
x(raiz1 + 6x + 4x^2 - 1)

Passo 5

Para simplificar ainda mais, usamos a aproximação para x grande:
raiz1 + 6x + 4x^2 approx 1 + 3x
Então:
x(1 + 3x - 1) = x cdot 3x = 3

Resposta

O limite é igual a 3 .

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