A quantidade Q de peças produzidas numa indústria, depende do número de horas t trabalhadas e está relacionada através da função Q(t)=-2 t^2+12 t. Determinar: a) a taxa de variação instantânea após 2 horas de serviço;

Passo 1

O enunciado dá a produção de peças em função do tempo como Q(t) = -2t^2 + 12t. O conteúdo é derivada de função polinomial para obter a taxa de variação instantânea, ou seja, como a produção muda exatamente em cada instante.

Passo 2

Para encontrar a taxa de variação instantânea, a gente calcula a derivada de Q(t) em relação a t. Aqui usamos as regras: a derivada de t^n é n t^n-1 e a de constante vezes função é constante vezes derivada da função.

Passo 3

Aplicando essas regras, derivamos Q(t) = -2t^2 + 12t e obtemos:
Q'(t) = ddt(-2t^2) + ddt(12t) = -4t + 12

Passo 4

Agora, avaliamos essa derivada no instante t = 2 horas:
Q'(2) = -4cdot 2 + 12 = -8 + 12 = 4

Passo 5

Isso significa que, no instante de 2 horas, a produção está aumentando a uma taxa de 4 peças por hora.

Resposta

A taxa de variação instantânea em t = 2 horas é de 4 peças por hora.

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