Encontre a solução de cada problema de valor inicial e determine o intervalo no qual ela é válida.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem linear
com condição inicial
. Vamos usar o método do fator integrante para EDOs lineares.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por
(considerando
):
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Multiplicando toda a equação por
, obtemos
E o lado esquerdo é exatamente a derivada de
.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Fazendo integração por partes em
, com
,
, vem
Logo
Passo 5
Isolando
, temos a solução geral
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
:
Isolando
, obtemos
Passo 7
Substituindo
de volta, a solução particular fica
Passo 8
Como dividimos por
, a solução só vale para
. Como a condição inicial está em
, escolhemos o intervalo de validade
.
Resposta
A solução é
válida para
.