Encontre a solução de cada problema de valor inicial e determine o intervalo no qual ela é válida.
e) l x y^prime+2 y=sen x y(pi2)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem linear x y' + 2y = sin x com condição inicial y(pi/2) = -1. Vamos usar o método do fator integrante para EDOs lineares.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por x (considerando xneq0):
y' + 2xy = sin xx

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral 2x ,dxr) = exp(2ln|x|)=x^2
Multiplicando toda a equação por x^2, obtemos
x^2y' + 2xy = xsin x
E o lado esquerdo é exatamente a derivada de x^2y.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
ddx(x^2y) = xsin x Longrightarrow x^2y = integral xsin x,dx + C
Fazendo integração por partes em integral xsin x,dx, com u=x, dv=sin x,dx, vem
integral xsin x,dx = -xcos x + sin x + C
Logo
x^2y = -xcos x + sin x + C

Passo 5

Isolando y, temos a solução geral
y(x)=-xcos x + sin x + Cx^2

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(pi/2)=-1:
yl(tfracpi2r) = -tfracpi2cos(tfracpi2) + sin(tfracpi2) + C(tfracpi2)^2 = 1 + Cpi^2/4 = -1
Isolando C, obtemos
1 + C = -pi^24 Longrightarrow C = -1 - pi^24

Passo 7

Substituindo C de volta, a solução particular fica
y(x)=-xcos x + sin x -1 - tfracpi^24x^2

Passo 8

Como dividimos por x, a solução só vale para xneq0. Como a condição inicial está em pi/2>0, escolhemos o intervalo de validade
.

Resposta

A solução é
y(x)=-xcos x + sin x -1 - tfracpi^24x^2
válida para xin(0,infty).

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