Resolva as seguintes equações diferenciais explicitando, sempre que possível, suas soluções e os intervalos onde tais soluções são válidas.
x y^prime+x y=1-y, y(1)=0

Passo 1

Temos a equação x y' + x y = 1 - y sujeita a y(1)=0. É um ODE linear de 1ª ordem. Para resolver, vamos reescrever na forma padrão e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo todos os termos por x (assumindo xneq0), obtemos
y' + x+1x,y = 1x
Aqui P(x)=x+1x e Q(x)=1x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
[
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x),dx\Bigr)=\exp\Bigl(\int\bigl(1+\tfrac1x\bigr)dx\Bigr)=\exp(x+\ln|x|)=x e^x.

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(x)=x e^x, o lado esquerdo vira a derivada de x e^x y:
ddxl(x e^x yr)=e^x
Agora integramos ambos os lados em relação a x.

Passo 5

Da integração temos
x e^x y = integral e^x dx = e^x + C,
o que dá a solução geral
y(x)=e^x + Cx e^x=1 + C e^-xx

Passo 6

Impondo a condição inicial y(1)=0:
0 = y(1)=1 + C e^-11implies C=-e

Passo 7

Substituindo C=-e na solução geral, obtemos a solução particular
y(x)=1 - e^1-xx
Como usamos divisão por x e a condição em x=1>0, o intervalo de validade é (0,infty).

Resposta

y(x)=1 - e^1-xx, x>0

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