Resolva as seguintes equações diferenciais explicitando, sempre que possível, suas soluções e os intervalos onde tais soluções são válidas.
Passo 1
Temos a equação
sujeita a
. É um ODE linear de 1ª ordem. Para resolver, vamos reescrever na forma padrão e usar fator integrante.
Passo 2
Dividindo todos os termos por
(assumindo
), obtemos
Aqui
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
[
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x),dx\Bigr)=\exp\Bigl(\int\bigl(1+\tfrac1x\bigr)dx\Bigr)=\exp(x+\ln|x|)=x e^x.
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x),dx\Bigr)=\exp\Bigl(\int\bigl(1+\tfrac1x\bigr)dx\Bigr)=\exp(x+\ln|x|)=x e^x.
Passo 4
Multiplicando a equação por
, o lado esquerdo vira a derivada de
:
Agora integramos ambos os lados em relação a
.
Passo 5
Da integração temos
o que dá a solução geral
Passo 6
Impondo a condição inicial
:
Passo 7
Substituindo
na solução geral, obtemos a solução particular
Como usamos divisão por
e a condição em
, o intervalo de validade é
.