Seja a função definida por z=f(x, y)=x^2-y^2x^2+y^2
Existe lim (x, y) (0,0) f(x, y) ?

Passo 1

O exercício pede para verificar se a função de duas variáveis f(x,y)=x^2 - y^2x^2 + y^2 tem limite quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite em funções de várias variáveis e para resolver vamos precisar testar se o valor de f(x,y) independe do caminho de aproximação ao ponto.

Passo 2

Em funções de duas variáveis, um jeito padrão de checar existência de limite é ver se o valor depende da reta y=mx. Substituindo y=mx temos:
f(x,mx)=x^2 - (mx)^2x^2 + (mx)^2

Passo 3

Agora fatoramos x^2:
f(x,mx)=x^2l(1 - m^2r)x^2l(1 + m^2r)=1 - m^21 + m^2

Passo 4

Essa expressão é constante em x mas depende de m. Por exemplo, para m=0 o limite é 1, e para m=1 o limite é 0. Como obtivemos valores diferentes ao mudar a reta de aproximação, o limite não pode ser único.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados