Resolva as seguintes equações diferenciais explicitando, sempre que possível, suas soluções e os intervalos onde tais soluções são válidas.
(2 x y^2+2 y)+(2 x^2 y+2 x) y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial (2xy^2+2y)+(2x^2y+2x)y'=0, que é uma EDO de primeira ordem na forma de diferencial exata.

Passo 2

Identificamos a forma diferencial M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 com
M(x,y)=2xy^2+2y,
N(x,y)=2x^2y+2x

Passo 3

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y=4xy+2,
partial Npartial x=4xy+2,
como partial M/partial y=partial N/partial x, o campo é exato.

Passo 4

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
partialpsipartial x=M(x,y)
Integramos M em relação a x:
psi(x,y)=integral(2xy^2+2y),dx = x^2y^2 + 2xy + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Agora igualamos
partialpsipartial y=2x^2y+2x + h'(y)
a N(x,y)=2x^2y+2x. Daí vem h'(y)=0, ou seja, h(y)=C0 constante.

Passo 6

A solução geral fica então dada implicitamente por
x^2y^2+2xy=C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 7

Podemos, se quisermos, isolar y. Dividindo por x^2 (supondo xneq0) e resolvendo a quadrática, obtemos duas folhas:
y(x) = -1 pm raiz1 + C/x^2x,
válidas em intervalos onde x>0 ou x<0, conforme a escolha do sinal de raiz e para manter a expressão real.

Resposta

x{2}y{2}+2xy=C, válido em intervalos onde x>0 ou x<0.

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