Resolva as seguintes equações diferenciais explicitando, sempre que possível, suas soluções e os intervalos onde tais soluções são válidas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
, que é uma EDO de primeira ordem na forma de diferencial exata.
Passo 2
Identificamos a forma diferencial
com
Passo 3
Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
como
, o campo é exato.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 5
Agora igualamos
a
. Daí vem
, ou seja,
constante.
Passo 6
A solução geral fica então dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária.
Passo 7
Podemos, se quisermos, isolar
. Dividindo por
(supondo
) e resolvendo a quadrática, obtemos duas folhas:
válidas em intervalos onde
ou
, conforme a escolha do sinal de raiz e para manter a expressão real.
Resposta
x{2}y{2}+2xy=C, válido em intervalos onde x>0 ou x<0.