Encontre a solução de cada problema de valor inicial e determine o intervalo no qual ela é válida.
ly^prime-senxy=0 y(1)=-1

Passo 1

O enunciado pede pra resolver o PVI y'-sin x,y=0 com y(1)=-1. Isso é uma EDO linear de 1ª ordem, onde vamos usar fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo na forma padrão y'+p(x)y=0 vemos que p(x)=-sin x. O fator integrante é mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral(-sin x),dx=e^cos x

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x) fica e^cos xy'+e^cos x(-sin x)y=0, que é exata em (e^cos xy)'=0. Integrando, obtemos o geral
y(x)=C,e^-cos x

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(1)=-1 -1=C,e^-cos1, logo C=-e^cos1. Assim
y(x)=-e^cos1,e^-cos x=-expl(cos1-cos xr)

Resposta

A solução é y(x)=-expl(cos1-cos xr), válida para todo xin(-infty,infty).

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