Resolva as seguintes equações diferenciais explicitando, sempre que possível, suas soluções e os intervalos onde tais soluções são válidas.
y^prime=x^3-2 yx

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem y'=x^3-2yx. Isso é uma equação linear, pois podemos escrevê-la como y'+p(x)y=g(x). Vamos usar fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Reescrevemos em forma padrão:
y'+2xy = x^2

Passo 3

Identificamos p(x)=2/x e calculamos o fator integrante:
mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral 2xdx=e^2ln|x|=x^2,
notando que isso só vale para xneq0 (depois dividiremos em x>0 ou x<0).

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por mu(x):
x^2y'+2xy = x^4Longrightarrow ddxl(x^2yr)=x^4

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2y=integral x^4,dx=x^55+C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolamos y:
y=x^5/5+Cx^2=x^35+C,x^-2

Passo 7

Portanto, a solução geral é válida em cada intervalo onde x não muda de sinal, isto é, em (0,infty) ou ( -infty,0).

Resposta

A solução geral é y=x^35+C,x^-2, válida em x>0 ou x<0.

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