Encontre a solução de cada problema de valor inicial a seguir:
ly^prime prime+2 y^prime+2 y=6 t y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento polinomial
y'' + 2y' + 2y = 6t,
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1.
Conteúdo: solução geral = solução da homogênea + particular, depois aplicar condições iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos a equação
r^2 + 2r + 2 = 0
As raízes são
r = -1 pm i
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = e^-tl(Acos t + Bsin tr)

Passo 3

Procuramos uma solução particular yp pelo método dos coeficientes indeterminados. O lado direito é 6t, um polinômio de grau 1, então tomamos
yp(t) = a,t + b
Suas derivadas são yp' = a e yp''=0. Substituindo na EDO:
0 + 2a + 2(a,t + b) = 6t Longrightarrow 2a,t + (2a + 2b) = 6t
Igualando coeficientes:
2a = 6 Rightarrow a=3, 2a + 2b = 0 Rightarrow b=-3
Logo
yp(t) = 3t - 3

Passo 4

A solução geral da EDO é
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^-tl(Acos t + Bsin tr) + 3t - 3

Passo 5

Calculamos a derivada geral
y'(t) = ddtl[e^-t(Acos t + Bsin t)r] + 3 = e^-tl((B - A)cos t - (A + B)sin tr) + 3

Passo 6

Aplicando as condições iniciais:
Em t=0,
y(0) = A - 3 = 1 Longrightarrow A = 4
Em t=0,
y'(0) = (B - A) + 3 = 1 Longrightarrow B - 4 + 3 = 1 Longrightarrow B = 2

Passo 7

Substituindo A=4 e B=2 na solução geral, obtemos
y(t) = e^-tl(4cos t + 2sin tr) + 3t - 3

Resposta

y(t) = e^-tl(4cos t + 2sin tr) + 3t - 3

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