Questão 5. Resolva as equações de EULER.
t^2 y^prime prime+5 t y^prime+3 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler
t^2y'' + 5t,y' + 3y = 0
Isso é uma equação de Cauchy–Euler, cuja solução típica obtém-se assumindo y(t)=t^r.

Passo 2

Assumindo y=t^r, temos
y' = r,t^r-1, y'' = r(r-1),t^r-2
Substituindo na equação original:
t^2l[r(r-1),t^r-2r] + 5tl[r,t^r-1r] + 3,t^r = 0
fatorando t^r (não nulo para t>0):
r(r-1) + 5r + 3 = 0

Passo 3

A equação característica é
r^2 + 4r + 3 = 0
Resolvendo-a, obtemos as raízes
r = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot32 = -4 pm 22,
logo r1 = -1 e r2 = -3.

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral é
y(t) = C1,t^r1 + C2,t^r2 = C1,t^-1 + C2,t^-3,
em que C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = C1,t^-1 + C2,t^-3

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