Encontre a solução de cada problema de valor inicial a seguir:
ly^prime prime+y=sen t y(0)=2, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y'' + y = sin t,
com
y(0)=2, y'(0)=-1
Esse é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante sin t. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada
y'' + y = 0
A equação característica é r^2+1=0, cujas raízes são r=pm i. Logo
yh(t)=C1cos t + C2sin t

Passo 3

Para a parte particular, notamos que o forçante sin t tem a mesma frequência da homogênea, ou seja há ressonância. Então assumimos
yp(t)=tl(Acos t + Bsin tr)
Calculando yp''+yp obtemos
yp''+yp = -2Asin t + 2Bcos t
que deve ser igual a sin t. Igualando coeficientes:
-2A=1Rightarrow A=-tfrac12, 2B=0Rightarrow B=0
Logo
yp(t)=-12,tcos t

Passo 4

A solução geral é
y(t)=yh(t)+yp(t) = C1cos t + C2sin t - 12,tcos t
Para determinar C1,C2 usamos as condições iniciais. Primeiro
y(0)=C1cdot1 + C2cdot0 - 0 = C1 = 2
Em seguida, derivando
y'(t)=-C1sin t + C2cos t -12cos t + 12,tsin t
e avaliando em t=0:
y'(0)= -0 + C2cdot1 - tfrac12 + 0 = C2-tfrac12 = -1 Rightarrow C2=-tfrac12

Resposta

y(t)=l(2-tfrac t2r)cos t ;-;tfrac12sin t

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