Encontre a solução de cada PVI:
cy^prime prime-y=2 t y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

A gente quer resolver o PVI
y'' - y = 2t, y(0)=0, y'(0)=1
Esse é um problema de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial. Vamos usar a técnica de solução geral = homogênea + particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
y'' - y = 0
Formamos a equação característica r^2 - 1 = 0, que dá raízes r=1 e r=-1. Assim, a solução geral da parte homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 e^-t

Passo 3

Agora, encontramos uma solução particular yp(t) para a equação completa. Como o lado direito é um polinômio de grau 1 ( 2t), tentamos
yp(t) = a t + b
Então
yp'(t) = a,
yp''(t) = 0
Substituindo em y'' - y = 2t:
0 - (a t + b) = 2t
Logo,
-a t - b = 2t
Comparando coeficientes, -a = 2 a=-2, e -b=0 b=0. Assim
yp(t) = -2t

Passo 4

A solução geral do PVI é a soma das duas partes:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^-t - 2t

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=0:
C1 + C2 - 2cdot0 = 0 implies C1 + C2 = 0
Depois calculamos a derivada:
y'(t) = C1 e^t - C2 e^-t - 2
Em t=0 temos y'(0)=1:
C1 - C2 - 2 = 1 implies C1 - C2 = 3
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 0, C1 - C2 = 3,
obtemos C1 = tfrac32 e C2 = -tfrac32.

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, chega-se a
y(t) = tfrac32e^t - tfrac32e^-t - 2t = 3sinh(t) - 2t

Resposta

y(t)=3sinh(t)-2t

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