Esse é um problema de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial. Vamos usar a técnica de solução geral = homogênea + particular.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
y'' - y = 0
Formamos a equação característica r^2 - 1 = 0, que dá raízes r=1 e r=-1. Assim, a solução geral da parte homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 e^-t
Passo 3
Agora, encontramos uma solução particular yp(t) para a equação completa. Como o lado direito é um polinômio de grau 1 (2t), tentamos
yp(t) = a t + b
Então
yp'(t) = a,
yp''(t) = 0
Substituindo em y'' - y = 2t:
0 - (a t + b) = 2t
Logo,
-a t - b = 2t
Comparando coeficientes, -a = 2 dá a=-2, e -b=0 dá b=0. Assim
yp(t) = -2t
Passo 4
A solução geral do PVI é a soma das duas partes:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^-t - 2t
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=0: