Encontre a solução de cada PVI:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é $ y’’ + y = e^{t} $ e as condições são $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares não homogêneas, que envolvem encontrar a solução geral da equação homogênea e adicionar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, $ y’’ + y = 0 $. Para isso, usamos a equação característica associada:
Resolvendo para $ r $:
Passo 3
Com as raízes imaginárias $ r = i $ e $ r = -i $, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) para a equação completa $ y’’ + y = e^{t} $. Como o lado direito é $ e^{t} $, tentamos uma solução na forma:
Onde $ A $ é uma constante que vamos determinar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
Substituindo na equação original:
Dividindo ambos os lados por $ e^{t} $:
Então, a solução particular é:
Passo 6
Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 7
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. Primeiro, para $ t = 0 $:
Então:
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada de $ y(t) $:
Aplicando a condição $ y’(0) = 1 $:
Então:
Resposta
A solução do PVI é