Encontre a solução de cada PVI:
cy^prime prime+y=e^t y(0)=y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é $ y’’ + y = e^{t} $ e as condições são $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares não homogêneas, que envolvem encontrar a solução geral da equação homogênea e adicionar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, $ y’’ + y = 0 $. Para isso, usamos a equação característica associada:
y'' + y = 0
Resolvendo para $ r $:
r^2 + 1 = 0

Passo 3

Com as raízes imaginárias $ r = i $ e $ r = -i $, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
r = i
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) para a equação completa $ y’’ + y = e^{t} $. Como o lado direito é $ e^{t} $, tentamos uma solução na forma:
yp
Onde $ A $ é uma constante que vamos determinar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
yp(t)
yp'(t) = A e^t
Substituindo na equação original:
yp''(t) = A e^t
A e^t + A e^t = e^t
Dividindo ambos os lados por $ e^{t} $:
2A e^t = e^t
Então, a solução particular é:
e^t

Passo 6

Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) + 12 e^t

Passo 7

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. Primeiro, para $ t = 0 $:
C1
Então:
C2

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada de $ y(t) $:
y(t)
Aplicando a condição $ y’(0) = 1 $:
y'(t) = -C1 sin(t) + C2 cos(t) + 12 e^t
Então:
y'(0) = 1

Resposta

A solução do PVI é
y(t) = 12 cos(t) + 12 sin(t) + 12 e^t

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