Encontre a solução de cada PVI:
cy^prime prime+y=8 t y(0)=0, y^prime(0)=10

Passo 1

Temos o PVI:
y'' + y = 8t, y(0)=0, y'(0)=10
Esse é um caso de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a estratégia é encontrar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para o termo não homogêneo, finalmente aplicamos as condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
y'' + y = 0
Formamos a equação característica:
r^2 + 1 = 0,
cuja solução é r = pm i. Isso nos dá a solução geral homogênea:
yh(t) = C1cos t + C2sin t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp(t) para a equação completa
y'' + y = 8t
Como o termo à direita é um polinômio de grau 1, suponhamos yp(t) = at + b. Calculando suas derivadas temos yp''(t) = 0, então
yp'' + yp = 0 + (at + b) = at + b
Igualando a 8t, concluímos que a = 8 e b = 0, logo
yp(t) = 8t

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cos t + C2sin t + 8t
Para aplicar as condições iniciais, precisamos da derivada:
y'(t) = -C1sin t + C2cos t + 8

Passo 5

Usando y(0)=0 e y'(0)=10:
Para y(0):
y(0) = C1cdot1 + C2cdot0 + 8cdot0 = C1 = 0
Para y'(0):
y'(0) = -C1cdot0 + C2cdot1 + 8 = C2 + 8 = 10 implies C2 = 2
Substituindo de volta, obtemos a solução desejada.

Resposta

y(t) = 2sin t + 8t

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