Encontre a solução de cada PVI:
Passo 1
Temos o PVI:
Esse é um caso de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a estratégia é encontrar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para o termo não homogêneo, finalmente aplicamos as condições iniciais para achar as constantes.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Formamos a equação característica:
cuja solução é
. Isso nos dá a solução geral homogênea:
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para a equação completa
Como o termo à direita é um polinômio de grau 1, suponhamos
. Calculando suas derivadas temos
, então
Igualando a
, concluímos que
e
, logo
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
Para aplicar as condições iniciais, precisamos da derivada:
Passo 5
Usando
e
:
Para :
Para
Para
:
Substituindo de volta, obtemos a solução desejada.