Resolva as EDOs:
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a EDO
z′= (z² – 5 x z)/x², que é uma equação de Bernoulli de grau 2. Vamos usar o método de redução pra EDO de Bernoulli e depois um fator integrante.
z′= (z² – 5 x z)/x², que é uma equação de Bernoulli de grau 2. Vamos usar o método de redução pra EDO de Bernoulli e depois um fator integrante.
Passo 2
Reescrevemos a EDO na forma padrão de Bernoulli dz/dx + a(x) z = b(x) zⁿ. Aqui temos
o que indica n=2, a(x)=5/x e b(x)=1/x².
Passo 3
Fazemos a troca de variável típica: definimos u= z^{1–n}= z^{-1}. Então
du/dx = -z^{-2} dz/dx.
du/dx = -z^{-2} dz/dx.
Passo 4
Substituindo dz/dx da equação original em du/dx obtemos
du/dx = -1/x² + 5u/x, o que é uma EDO linear em u.
du/dx = -1/x² + 5u/x, o que é uma EDO linear em u.
Passo 5
Para resolver essa EDO linear escrevemos
O fator integrante é μ(x)=exp(∫-5/x dx)= x^{-5}.
Passo 6
Multiplicando por μ e integrando:
Logo
Passo 7
Voltando a z via z=1/u, temos
Passo 8
Podemos reescrever a constante genérica como k=6C, obtendo a solução geral
com k uma constante arbitrária.
Resposta
z(x)=\frac{6x}{1 + k x^6}