Resolva as EDOs:
z^prime=z^2-5 x zx^2

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO
z′= (z² – 5 x z)/x², que é uma equação de Bernoulli de grau 2. Vamos usar o método de redução pra EDO de Bernoulli e depois um fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos a EDO na forma padrão de Bernoulli dz/dx + a(x) z = b(x) zⁿ. Aqui temos
dzdx + 5x z = 1x^2 z^2,
o que indica n=2, a(x)=5/x e b(x)=1/x².

Passo 3

Fazemos a troca de variável típica: definimos u= z^{1–n}= z^{-1}. Então
du/dx = -z^{-2} dz/dx.

Passo 4

Substituindo dz/dx da equação original em du/dx obtemos
du/dx = -1/x² + 5u/x, o que é uma EDO linear em u.

Passo 5

Para resolver essa EDO linear escrevemos
dudx - 5xu = -1x^2
O fator integrante é μ(x)=exp(∫-5/x dx)= x^{-5}.

Passo 6

Multiplicando por μ e integrando:
ddx(u x^-5) = -x^-7 implies u x^-5 = integral -x^-7 dx = x^-66 + C
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u = 16x + C x^5

Passo 7

Voltando a z via z=1/u, temos
z(x)= 116x + C x^5 = 6x1 + 6C x^6

Passo 8

Podemos reescrever a constante genérica como k=6C, obtendo a solução geral
z(x)= 6x1 + k x^6,
com k uma constante arbitrária.

Resposta

z(x)=\frac{6x}{1 + k x^6}

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