Encontre a solução de cada PVI:
cy^prime prime-3 y^prime+2 y=20 sen t y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

Temos um PVI de segunda ordem não homogênea dado por:
y''-3y'+2y=20sin t, y(0)=0,;y'(0)=0
O conteúdo aqui é EDO linear de 2ª ordem com termo forçante, e vamos usar: solução geral = homogênea + particular + aplicação de condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''-3y'+2y=0
A equação característica é
r^2-3r+2=0,
cuja solução é r=1 e r=2.
Logo a solução homogênea é
yh(t)=C1e^t+C2e^2t

Passo 3

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o forçamento é 20sin t, tomamos o ansatz
yp(t)=Acos t+Bsin t
Calculamos as derivadas:
yp'(t)=-Asin t+Bcos t,
yp''(t)=-Acos t-Bsin t
Substituindo em y''-3y'+2y e igualando a 20sin t, obtemos o sistema
A-3B=0,3A+B=20
Resolvendo, B=2 e A=6. Então
yp(t)=6cos t+2sin t

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e^t+C2e^2t+6cos t+2sin t
Agora usamos as condições iniciais. Em t=0:
y(0)=C1+C2+6=0implies C1+C2=-6
A derivada é
y'(t)=C1e^t+2C2e^2t-6sin t+2cos t,
em t=0:
y'(0)=C1+2C2+2=0implies C1+2C2=-2
Resolvendo o sistema
C1+C2=-6,C1+2C2=-2,
onte C1=-10 e C2=4.

Resposta

A solução do PVI é:
y(t)=-10e^t+4e^2t+6cos t+2sin t

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