Encontre a solução de cada PVI:
(a) ly^prime+3 y=18 t y(0)=5

Passo 1

O exercício pede para resolver o PVI y'+3y=18t,;y(0)=5. O conteúdo aqui é uma EDO linear de primeira ordem, e para resolvê-la vamos usar o método do fator integrante, que transforma a equação em uma derivada de produto.

Passo 2

Em uma EDO da forma y'+p(t)y=g(t), o fator integrante é mu(t)=e^integral p(t),dt. Aqui p(t)=3, então
mu(t)=e^integral3,dt=e^3t

Passo 3

Multiplicando a EDO original por e^3t, temos
(e^3ty)' = 18t,e^3t

Passo 4

Agora basta integrar ambos os lados em relação a t. Do lado direito, fazemos integração por partes: Escolhendo u=18t e dv=e^3tdt, temos du=18dt e v=tfrac13e^3t. Então
integral18t,e^3tdt = 18tcdottfrac13e^3t - integraltfrac13e^3tcdot18,dt = 6t e^3t -6integral e^3tdt = 6t e^3t -2e^3t + C

Passo 5

Logo
e^3ty = 6t e^3t -2e^3t + C Longrightarrow y = 6t -2 + C e^-3t

Passo 6

Para determinar C, usamos a condição inicial y(0)=5:
5 = 6cdot0 -2 + Ccdot e^0 implies 5 = -2 + C implies C = 7

Resposta

y(t)=6t-2+7e^-3t

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