Encontre a solução de cada PVI:
(e) ly^prime prime+4 y=0 y(0)=2, y^prime(0)=6

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o PVI y'' + 4y = 0 com condições iniciais y(0) = 2 e y'(0) = 6. O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a equação característica e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Montamos a equação característica:
r^2 + 4 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes r = pm 2i.

Passo 3

Escrevemos a solução geral da EDO utili­zando as raízes complexas:
y(t) = C1 ,cos(2t) + C2 ,sin(2t)
e calculamos a derivada para usar as condições iniciais:
y'(t) = -2C1 ,sin(2t) + 2C2 ,cos(2t)

Passo 4

Em t=0, temos y(0) = C1 = 2 e y'(0) = 2C2 = 6, o que dá C2 = 3.

Resposta

y(t) = 2cos(2t) + 3sin(2t)

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