OBS: 1. Não usar LHopital - os limites devem ser calculados por manipulação algébrica.
2. Não usar regras de derivação. As derivadas devem ser determinadas pela definição.
3. Serão considerados como limites fundamentais apenas os do formulário. Qualquer outro limite que for utilizado deverá ser calculado.
(1,5) Calcule lim x infty x cdot ln (1+2x). A função apresenta assíntota horizontal? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites em funções que envolvem logaritmos naturais. Para resolver isso, vamos precisar manipular algebraicamente a expressão e usar propriedades dos logaritmos e limites fundamentais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que quando ln(1 + 2x) tende ao infinito, tende a 0. Então, temos:
Podemos usar a aproximação para quando é pequeno. Nesse caso, , que está tendendo a 0.

Passo 3

Aplicando a aproximação:
ln(1 + 2x) approx 2x
Então, a expressão original fica aproximadamente:
x cdot 2x = 2
Isso sugere que o limite tende a 2.

Passo 4

Para confirmar, podemos formalizar o limite usando a definição:
limx to infty x cdot ln(1 + 2x) = limx to infty ln(1 + 2x)1x
Reconhecemos que isso tem a forma quando , então podemos usar a definição do derivada para resolver.

Passo 5

Sabemos que:
limh to 0 ln(1 + h)h = 1
Aqui, limx to infty ln(1 + 2x)2x = 1 , então:
limx to infty x cdot ln(1 + 2x) = 2
Multiplicando ambos os lados por 2, temos que:

Resposta

O limite é igual a 2. Além disso, a função não possui assíntota horizontal, já que o limite tende a um valor finito (2) quando tende ao infinito.

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