OBS: 1. Não usar LHopital - os limites devem ser calculados por manipulação algébrica.
2. Não usar regras de derivação. As derivadas devem ser determinadas pela definição.
3. Serão considerados como limites fundamentais apenas os do formulário. Qualquer outro limite que for utilizado deverá ser calculado.
Calcule
. A função apresenta assíntota horizontal? Justifique.
2. Não usar regras de derivação. As derivadas devem ser determinadas pela definição.
3. Serão considerados como limites fundamentais apenas os do formulário. Qualquer outro limite que for utilizado deverá ser calculado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos lidando com limites em funções que envolvem logaritmos naturais. Para resolver isso, vamos precisar manipular algebraicamente a expressão e usar propriedades dos logaritmos e limites fundamentais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que quando
tende ao infinito,
tende a 0. Então, temos:
Podemos usar a aproximação para
quando
é pequeno. Nesse caso,
, que está tendendo a 0.
Passo 3
Aplicando a aproximação:
Então, a expressão original fica aproximadamente:
Isso sugere que o limite tende a 2.
Passo 4
Para confirmar, podemos formalizar o limite usando a definição:
Reconhecemos que isso tem a forma
quando
, então podemos usar a definição do derivada para resolver.
Passo 5
Sabemos que:
Aqui,
, então:
Multiplicando ambos os lados por 2, temos que:
Resposta
O limite
é igual a 2. Além disso, a função não possui assíntota horizontal, já que o limite tende a um valor finito (2) quando
tende ao infinito.