Encontre a solução de cada PVI:
(b) ly^prime-5 y=e^t y(0)=7, y^prime(0)=11

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI da equação linear de 1ª ordem y'-5y=e^t com as condições y(0)=7 e y'(0)=11. O conteúdo que vamos usar é o método do fator integrante para equações lineares de 1ª ordem.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(t). Para um ODE da forma y'+p(t)y=q(t), temos mu(t)=e^integral p(t),dt. Aqui p(t)=-5, então
mu(t)=e^integral(-5),dt=e^-5t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t):
e^-5ty'-5e^-5ty=e^-5te^t

Passo 4

O lado esquerdo é a derivada de e^-5ty. Logo
ddtl(e^-5tyr)=e^-4t

Passo 5

Integramos ambos os lados:
e^-5ty=integral e^-4t,dt= -tfrac14e^-4t+C

Passo 6

Isolando y:
y(t)=Ce^5t+16e^t

Passo 7

Usamos y(0)=7:
7=C+tfrac16implies C=tfrac416

Passo 8

Derivamos y(t) para checar y'(0):
y'(t)=5Ce^5t+tfrac16e^timplies y'(0)=5cdottfrac416+tfrac16=tfrac2066=tfrac1033

Passo 9

Como y'(0)=103/3neq11, as duas condições iniciais são inconsistentes e não existe solução que satisfaça ambas.

Resposta

O PVI não admite solução, pois as condições iniciais são inconsistentes.

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