Encontre a solução de cada PVI:
© ly^prime prime+9 y=36 y(0)=0, y^prime(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y'' + 9y = 36, y(0)=0, y'(0)=-2
Este é um caso de EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes; vamos usar solução geral = solução homogênea + particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
y'' + 9y = 0
A equação característica é r^2 + 9 = 0, com raízes r=±3i. Logo,
yh(t) = C1,cos(3t) + C2,sin(3t)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp. Como o termo independente é constante, usamos yp=A. Substituindo em y''+9y=36:
0 + 9A = 36 implies A = 4
Logo,
yp(t) = 4

Passo 4

A solução geral do PVI é a soma das duas partes:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1,cos(3t) + C2,sin(3t) + 4

Passo 5

Por fim, aplicamos as condições iniciais para determinar C1 e C2:
Para t=0:
y(0) = C1 + 4 = 0 implies C1 = -4
Derivando:
y'(t) = -3C1,sin(3t) + 3C2,cos(3t)
Em t=0:
y'(0) = 3C2 = -2 implies C2 = -tfrac23

Resposta

y(t) = -4,cos(3t) - tfrac23,sin(3t) + 4

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