Encontre a solução de cada PVI:
(h) ly^(3)-2 y^prime prime=0 y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=32.

Passo 1

A gente tem um PVI de terceira ordem:
Conteúdo: equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes.
O enunciado pede para achar a solução de
y^(3) - 2y'' = 0
com as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0 e y''(0)=32. Precisamos usar o polinômio característico e depois impor as condições.

Passo 2

Primeiro construímos o polinômio característico substituindo y(x)=e^rx na equação homogênea. Isso dá
r^3 - 2r^2 = 0 ,Longrightarrow, r^2(r-2)=0
As raízes são r=0 de multiplicidade 2 e r=2 simples. Logo, a solução geral é
y(x) = C1 + C2 x + C3 e^2x,
porque para raiz dupla incluímos o termo C2 x.

Passo 3

Agora vamos achar C1, C2, C3 usando as condições iniciais. Primeiro calculamos as derivadas:
y'(x) = C2 + 2C3 e^2x,
y''(x) = 4C3 e^2x
Aplicando as condições:
  • y(0)=0 C1 + C3 = 0.
  • y'(0)=0 C2 + 2C3 = 0.
  • y''(0)=32 4C3 = 32 C3=8.

Passo 4

Substituindo C3=8 nas duas primeiras equações obtemos:
C1 + 8 = 0 ,Longrightarrow, C1 = -8,
C2 + 2 dot 8 = 0 ,Longrightarrow, C2 = -16
Portanto todos os coeficientes estão determinados.

Passo 5

Pronto! Montando a solução com C1=-8, C2=-16 e C3=8:
y(x) = -8 -16x + 8e^2x

Resposta

y(x) = -8 - 16x + 8e^2x

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