OBS: 1. Não usar LHopital - os limites devem ser calculados por manipulação algébrica.
2. Não usar regras de derivação. As derivadas devem ser determinadas pela definição.
3. Serão considerados como limites fundamentais apenas os do formulário. Qualquer outro limite que for utilizado deverá ser calculado.
(2,0) Analise a continuidade da função f em seu domínio: f(x)=craizx-1x^2-1, x neq pm 1 raiz2 / 2, x=1 0, x=-1

Passo 1

Ok, vamos analisar a continuidade da função dada no enunciado. A função é definida por partes e precisamos verificar se ela é contínua em todo o seu domínio. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade, identificar o domínio da função e verificar os pontos onde a definição da função muda, que são e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Olhando para a expressão x-1(x - 1)(x + 1) = 1x + 1 , precisamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero e que o denominador não seja zero.
A expressão dentro da raiz é . Vamos simplificar o denominador:
Então,
Porém, essa simplificação só é válida quando e , pois nesses valores o denominador original se anula.
Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto e .

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade nos pontos onde a definição da função muda, ou seja, em e .
Para uma função ser contínua em um ponto , três condições devem ser satisfeitas:
  1. A função está definida em , ou seja, existe.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 4

Vamos começar verificando a continuidade em f(1) = raiz22 .
  1. Função está definida em 1:
    limx to 1 raizx-1x^2-1 = limx to 1 raizx-1(x-1)(x+1) = limx to 1 raiz1x+1
  2. Calculando o limite quando raiz11+1 = raiz12 = raiz22 se aproxima de 1:
    limx to 1 f(x) = raiz22 = f(1)
    Substituindo :
  3. Comparando o limite com o valor da função:
Como todas as condições são satisfeitas, a função é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos verificar a continuidade em f(-1) = 0 .
  1. Função está definida em -1:
    limx to -1 raizx-1x^2-1 = limx to -1 raizx-1(x-1)(x+1) = limx to -1 raiz1x+1
  2. Calculando o limite quando se aproxima de -1:
    Aqui, ao substituir , o denominador se aproxima de zero, tornando a expressão indefinida, e o limite não existe.
  3. Comparando o limite com o valor da função:
    Como o limite não existe, a função não é contínua em , mesmo que .

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio, exceto em , onde apresenta descontinuidade.

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