OBS: 1. Não usar LHopital - os limites devem ser calculados por manipulação algébrica.
2. Não usar regras de derivação. As derivadas devem ser determinadas pela definição.
3. Serão considerados como limites fundamentais apenas os do formulário. Qualquer outro limite que for utilizado deverá ser calculado.
(2,0) Determine, usando a definição, a função f^prime(x), derivada de f(x)=raiz3 x-1. Use esse resultado para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x0=23.
Formulário: lim x 0 sen xx=1 ; lim x 0 a^x-1x=ln r ; lim x pm infty(1+1x)^x=e ; lim x 0(1+x)^1x=e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a derivada da função usando a definição de derivada. Depois, com essa derivada, vamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos básicos de limites e derivadas definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a definição de derivada. A derivada de f'(x) = limh to 0 f(x + h) - f(x)h em f'(x) = limh to 0 raiz3(x + h) - 1 - raiz3x - 1h é dada por:
Nesse caso, nossa função é , então vamos substituir na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Para eliminar as raízes no numerador, vamos multiplicar e dividir pela conjugada:
f'(x) = limh to 0 raiz3x + 3h - 1 - raiz3x - 1h cdot raiz3x + 3h - 1 + raiz3x - 1raiz3x + 3h - 1 + raiz3x - 1
Isso resulta em:
f'(x) = limh to 0 (3x + 3h - 1) - (3x - 1)h (raiz3x + 3h - 1 + raiz3x - 1)
Simplificando o numerador:
(3x + 3h - 1) - (3x - 1) = 3h
Então:
f'(x) = limh to 0 3hh (raiz3x + 3h - 1 + raiz3x - 1) = limh to 0 3raiz3x + 3h - 1 + raiz3x - 1
Agora, quando f'(x) = 32raiz3x - 1 tende a 0, se aproxima de . Então:

Passo 4

Agora que temos a derivada, vamos calcular f'(23) = 32raiz3 cdot 23 - 1 = 32raiz2 - 1 = 32raiz1 = 32 :
f(23) = raiz3 cdot 23 - 1 = raiz2 - 1 = 1
Também precisamos do ponto de tangência. Calculando y - y0 = f'(x0)(x - x0) :
y - 1 = 32(x - 23)
Agora, usamos a fórmula da reta tangente:
y = 32x - 32 cdot 23 + 1 = 32x - 1 + 1 = 32x
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é .

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