Encontre a solução de cada PVI:
(h) ly^(3)-2 y^prime prime=0 y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=32

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
Conteúdo: EDO linear de 3ª ordem com coeficientes constantes. Vamos encontrar a solução geral via equação característica e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica da EDO:
r^3 - 2r^2 = 0
Fatorando, temos r^2(r - 2)=0, de onde as raízes são r=0 (multiplicidade 2) e r=2. Como há uma raiz repetida em zero, a solução geral é
y(x)=C1 + C2 x + C3 e^2x

Passo 3

Para determinar C1, C2, C3, calculamos as derivadas:
y'(x)=C2 +2C3 e^2x,
y''(x)=4C3 e^2x
Aplicando as condições iniciais em x=0:
y(0)=C1 + C3 = 0, y'(0)=C2 +2C3 = 0, y''(0)=4C3 = 32
Da última equação vem C3=8. Substituindo nas duas primeiras, obtemos C1=-8 e C2=-16.

Passo 4

Substituindo esses valores na solução geral, chegamos em
y(x)=-8 -16x +8e^2x

Resposta

y(x)=-8 -16x +8e^2x

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