1. Seja w=3 x y^2 z^3, y=3 x^2+2, z=raizx-1. Encontre d w / d x.

Passo 1

O problema nos dá as funções w=3x,y^2,z^3, y=3x^2+2 e z=raizx-1, e pede dw/dx. Vamos usar regra do produto e regra da cadeia para derivar em relação a x.

Passo 2

Escrevemos w como produto de duas funções de x:
un u=3x e v=y^2z^3.
Pela regra do produto temos:
dwdx=u',v+u,v'

Passo 3

Calculamos u'=d(3x)/dx=3. Logo o primeiro termo é:
u',v=3,y^2z^3

Passo 4

Para v=y^2z^3 aplicamos novamente a regra do produto: definimos v1=y^2 e v2=z^3, daí
v'=ddx(y^2)cdot z^3+y^2cdotddx(z^3)

Passo 5

Usamos a regra da cadeia em cada derivada:
  1. d(y^2)/dx=2y,(dy/dx) e como dy/dx=6x temos d(y^2)/dx=12x,y.
  2. d(z^3)/dx=3z^2,(dz/dx) e como dz/dx=1/(2raizx-1)=1/(2z) obtemos d(z^3)/dx=3z^2cdottfrac12z=tfrac32,z

Passo 6

Substituindo em v' fica
v'=12x,y,z^3+32,y^2,z
Então a derivada completa é
dwdx=3y^2z^3+3xl(12x,y,z^3+tfrac32,y^2,zr)

Passo 7

Por fim, substituímos y=3x^2+2 e z=raizx-1 para escrever a resposta só em termos de x.

Resposta

dwdx=3(3x^2+2)^2(x-1)^3/2+92,x(3x^2+2)^2(x-1)^1/2+36x^2(3x^2+2)(x-1)^3/2

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