Resolva as EDOs:
(1+t^2) y^prime=t y(1+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO (1+t^2)y' = t,y(1+y^2). O conteúdo aqui é equação diferencial separável: vamos usar separação de variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Reescrevemos a EDO isolando dy e dt:
1y(1+y^2),dy = t1+t^2,dt

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
1y(1+y^2) = Ay + By + C1+y^2
Igualando numeradores, achamos A=1, B=-1 e C=0. Assim
integral1y(1+y^2),dy = integrall(1y - y1+y^2r)dy = ln|y| - tfrac12ln(1+y^2)

Passo 4

O lado direito integra facilmente:
integralt1+t^2,dt = tfrac12ln(1+t^2)

Passo 5

Igualando as antiderivadas e incluindo constante de integração C, temos
ln|y| - tfrac12ln(1+y^2) = tfrac12ln(1+t^2) + C
Exponentiando e escrevendo K=pm e^C, obtém-se a forma implícita da solução:
yraiz1+y^2 = Kraiz1+t^2

Resposta

ln|y| - tfrac12ln(1+y^2) = tfrac12ln(1+t^2) + C, ou equivalentemente yraiz1+y^2 = Kraiz1+t^2, com C e K=pm e^C constantes arbitrárias.

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