Encontre a solução de cada PVI:
(g) ly^prime prime+y=8 t y(0)=0, y^prime(0)=10

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI y''+y=8t com y(0)=0 e y'(0)=10. O assunto aqui é EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e terminação não homogênea. Para encarar isso, a gente vai decompor a solução em parte homogênea e parte particular (método dos coeficientes indeterminados).

Passo 2

Primeiro, montamos a solução geral da equação homogênea associada y''+y=0. A equação característica é r^2+1=0, cujas raízes são r=pm i. Logo,
yh(t)=Acos t+Bsin t,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Agora, precisamos de uma solução particular de y''+y=8t. Como o termo forçante é um polinômio de grau 1, tomamos o palpite
yp(t)=a t+b

Passo 4

Derivando, temos yp'=a e yp''=0. Substituindo na ODE:
0+(a t+b)=8t

Passo 5

Comparando coeficientes de t e termos constantes, vem a=8 e b=0. Então
yp(t)=8t

Passo 6

A solução geral do PVI é a soma
y(t)=yh(t)+yp(t)=Acos t+Bsin t+8t

Passo 7

Faltam só as condições iniciais. De y(0)=0 temos
y(0)=A+0+0=0implies A=0

Passo 8

E de y'(t)=-Asin t+Bcos t+8, avaliando em zero:
y'(0)=B+8=10implies B=2

Resposta

y(t)=2sin t+8t

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