- Prove:
e
em toda uma região circular, então
é constante naquela região. [Sugestão: Use o resultado do Exercício 68.]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se as derivadas parciais de uma função diferenciável f (isto é, f_x e f_y) são nulas em toda a região interior de um disco (região circular), então f assume valor constante nesse disco. O conteúdo principal é a ligação entre derivadas parciais, derivadas direcionais e o fato de que um disco é um conjunto convexo. Vamos usar o resultado do Exercício 68, que diz que a derivada direcional de f num vetor unitário ,(u=(a,b),) é
.
Passo 2
Como um disco é convexo, dados dois pontos
e
nele, o segmento de reta que une
a
fica inteiramente dentro do disco. Isso nos permite analisar f ao longo desse segmento sem sair da região onde
e
.
Passo 3
Parametrizamos o segmento de
a
por
, com
. Então definimos a função de uma variável
. Pelo Teorema da Cadeia temos
Passo 4
Como em toda a região
e
, segue que
para todo
. Portanto,
é constante em
, o que implica
Passo 5
Como
e
eram pontos arbitrários no disco, concluímos que f assume o mesmo valor em qualquer par de pontos do disco.
Resposta
f(x,y) é constante na região circular; isto é, existe
tal que
para todo ponto
do disco.