1. Prove: Se fx(x, y)=0 e fy(x, y)=0 em toda uma região circular, então f(x, y) é constante naquela região. [Sugestão: Use o resultado do Exercício 68.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se as derivadas parciais de uma função diferenciável f (isto é, f_x e f_y) são nulas em toda a região interior de um disco (região circular), então f assume valor constante nesse disco. O conteúdo principal é a ligação entre derivadas parciais, derivadas direcionais e o fato de que um disco é um conjunto convexo. Vamos usar o resultado do Exercício 68, que diz que a derivada direcional de f num vetor unitário ,(u=(a,b),) é Du f = fx,a + fy,b.

Passo 2

Como um disco é convexo, dados dois pontos P e Q nele, o segmento de reta que une P a Q fica inteiramente dentro do disco. Isso nos permite analisar f ao longo desse segmento sem sair da região onde fx=0 e fy=0.

Passo 3

Parametrizamos o segmento de P=(x0,y0) a Q=(x1,y1) por r(t) = (x0 + t(x1-x0),;y0 + t(y1-y0)), com tin[0,1]. Então definimos a função de uma variável g(t)=f(r(t)). Pelo Teorema da Cadeia temos
g'(t)=nabla f(r(t))cdot r'(t)=fx(r(t)),(x1-x0)+fy(r(t)),(y1-y0)

Passo 4

Como em toda a região fx=0 e fy=0, segue que g'(t)=0 para todo tin[0,1]. Portanto, g(t) é constante em [0,1], o que implica
g(1)=g(0)Longrightarrow f(x1,y1)=f(x0,y0)

Passo 5

Como P e Q eram pontos arbitrários no disco, concluímos que f assume o mesmo valor em qualquer par de pontos do disco.

Resposta

f(x,y) é constante na região circular; isto é, existe C tal que f(x,y)=C para todo ponto (x,y) do disco.

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