1. Explique como a regra da derivada do produto de funções de uma só variável pode ser vista como uma decorrência da regra da cadeia aplicada a uma função particular de duas variáveis.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a regra do produto de duas funções de uma variável é um caso particular da regra da cadeia para funções de duas variáveis. Vamos usar o conteúdo de derivadas parciais e a regra da cadeia multivariável para justificar isso.

Passo 2

Definimos uma função de duas variáveis
F(x,y)=xcdot y
e duas funções de uma variável quaisquer u(x) e v(x). O objetivo é ver como se comporta a derivada de
h(x)=Fl(u(x),v(x)).

Passo 3

Relembramos a regra da cadeia para uma composição de F: R^2to R com u,v: Rto R:
Isto decorre de expandir o diferencial total de h'(x)=partial Fpartial xl(u(x),v(x))cdot u'(x)+partial Fpartial yl(u(x),v(x))cdot v'(x) em função de F e x.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de F(x,y)=x,y:
partial Fpartial x(x,y)=y,
partial Fpartial y(x,y)=x

Passo 5

Substituindo essas parciais na fórmula da regra da cadeia para h'(x), obtemos
h'(x)=v(x)cdot u'(x)+u(x)cdot v'(x),
que é exatamente a fórmula da regra do produto.

Passo 6

Concluímos, portanto, que a regra do produto para h(x)=u(x),v(x) surge diretamente da aplicação da regra da cadeia à função bilinear F(x,y)=x,y.

Resposta

A regra do produto é um caso particular da regra da cadeia aplicada a F(x,y)=x,y: ao compor F com u(x) e v(x), a derivada de h(x)=u(x)v(x) fica h'(x)=v(x)u'(x)+u(x)v'(x), que é exatamente o produto das derivadas parciais de F pelas derivadas de u e v.

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