- Explique como a regra da derivada do produto de funções de uma só variável pode ser vista como uma decorrência da regra da cadeia aplicada a uma função particular de duas variáveis.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a regra do produto de duas funções de uma variável é um caso particular da regra da cadeia para funções de duas variáveis. Vamos usar o conteúdo de derivadas parciais e a regra da cadeia multivariável para justificar isso.
Passo 2
Definimos uma função de duas variáveis
e duas funções de uma variável quaisquer
e
. O objetivo é ver como se comporta a derivada de
).
Passo 3
Relembramos a regra da cadeia para uma composição de
com
:
Isto decorre de expandir o diferencial total de
em função de
e
.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 5
Substituindo essas parciais na fórmula da regra da cadeia para
, obtemos
que é exatamente a fórmula da regra do produto.
Passo 6
Concluímos, portanto, que a regra do produto para
surge diretamente da aplicação da regra da cadeia à função bilinear
.
Resposta
A regra do produto é um caso particular da regra da cadeia aplicada a
: ao compor
com
e
, a derivada de
fica
, que é exatamente o produto das derivadas parciais de
pelas derivadas de
e
.