Resolva as EDOs:
y^prime cos t+y sen t=cos t+sen t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'cos t + ysin t = cos t + sin t
É uma EDO de primeira ordem linear em y(t). Vamos precisar lembrar como colocar no formato padrão y' + P(t)y = Q(t) e usar fator integrante.

Passo 2

Primeiro dividimos toda a equação por cos t (supondo cos tneq0) para isolar y':
y' + ytan t = 1 + tan t
Aqui temos P(t)=tan t e Q(t)=1+tan t.

Passo 3

Para encontrar o fator integrante mu(t), calculamos
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(integral tan t,dtr)
Sabemos que integraltan t,dt=-ln|cos t|, então
mu(t)=e^-ln|cos t|=sec t

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=sec t:
sec t,y' + ysec ttan t = sec t + sec ttan t
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto ysec t, pois
ddtl(ysec tr)=y'sec t + ysec ttan t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddt(ysec t),dt = integral (sec t + sec ttan t),dt
No lado direito,
integral sec t,dt=lnl|sec t+tan tr|,
integral sec ttan t,dt=sec t
Logo,
ysec t = lnl|sec t+tan tr| + sec t + C

Passo 6

Por fim, isolamos y:
y = l(ln|sec t+tan t| + sec t + Cr)cos t
que pode ser escrita como
y(t)=1 + cos tlnl|sec t+tan tr| + Ccos t

Resposta

y(t)=1+\cos t,\ln\bigl|\sec t+\tan t\bigr|+C\cos t.

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