Encontre uma solução contínua satisfazendo cada equação diferencial e a condição inicial dada. (Lembre-se que a solução y deve ser contínua!): d yd x+y=f(x) em que f(x)=cc1, & 0 <= x <= 1 0, & x>1 e y(0)=0

Passo 1

Estamos diante de uma EDO linear de primeira ordem com forçante em partes: dydx+y=f(x), onde f(x)=1 para 0<= x<=1 e f(x)=0 para x>1, e condição inicial y(0)=0. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante em cada região onde f é constante e depois impor continuidade em x=1.

Passo 2

Para 0<= x<=1, a equação fica dydx+y=1. O fator integrante é e^integral1,dx=e^x. Multiplicando a EDO por e^x obtemos em bloco:
(e^x y)' = e^x
Integrando:
e^x y = integral e^x,dx = e^x + C
Logo
y = 1 + Ce^-x
Usando y(0)=0 0=1+C então C=-1. Portanto,
y(x)=1-e^-x, 0<= x<=1

Passo 3

Para x>1, a EDO é homogênea: dydx+y=0. A solução geral é
y = D e^-x
Para garantir a continuidade em x=1, igualamos
D e^-1 = y(1^-) = 1 - e^-1
Daí
D = (1 - e^-1)e = e - 1
Logo,
y(x) = (e-1)e^-x, x>1

Resposta

A solução contínua satisfazendo a EDO e a condição inicial é
en bloco:
y(x)= 1 - e^-x, & 0 <= x <= 1, (e - 1)e^-x, & x > 1

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