Encontre a transformada de Laplace Inversa
f(t)=sen t-12 t sen t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de
f(t)=sin t - tfrac12,t,sin t.
O conteúdo aqui é a transformada de Laplace de funções dadas por somas e produtos por t.
Vamos precisar usar: linearidade da transformada e a propriedade Lt,g(t)=-ddsG(s).

Passo 2

Usando a propriedade de linearidade,
F(s)= Lsin t - tfrac12, Lt,sin t

Passo 3

Sabemos que
Lsin t=1s^2+1

Passo 4

Para Lt,sin t aplicamos Lt,g(t)=-ddsG(s) com G(s)=1/(s^2+1). Calculando:
ddsl(1s^2+1r)=-2s(s^2+1)^2,
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Lt,sin t=-l(-2s(s^2+1)^2r)=2s(s^2+1)^2

Passo 5

Multiplicando por tfrac12 e combinando com o primeiro termo:
F(s)=1s^2+1 - tfrac12cdot2s(s^2+1)^2 =1s^2+1 - s(s^2+1)^2

Resposta

\displaystyle F(s)=\frac{1}{s2+1}-\frac{s}{(s2+1)^2}

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