Resolva o seguinte problema de valor inicial
x^prime=x-2 y, y^prime=3 x-4 y, x(0)=1, y(0)=0

Passo 1

O problema é um sistema de EDOs lineares homogêneas:
x' = x - 2y, y' = 3x - 4y,
com condições iniciais x(0)=1 e y(0)=0. Vamos usar a teoria de sistemas lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Reescrevemos o sistema no formato matricial X'=A,X, onde
X(t)=x(t)y(t), A=1 & -23 & -4

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=1-lambda & -23 & -4-lambda=(lambda+1)(lambda+2)=0,
logo os autovalores são lambda1=-1 e lambda2=-2.

Passo 4

Para lambda1=-1, resolvemos (A+I)v=0 e obtemos v1=(1,1)^T. Para lambda2=-2, resolvemos (A+2I)v=0 e achamos v2=(2,3)^T.

Passo 5

A solução geral é
X(t)=C1e^-t11+C2e^-2t23
Aplicando X(0)=(1,0)^T:
C111+C223=10,
obtemos C1=3 e C2=-1, ficando
X(t)=3e^-t11-e^-2t23

Resposta

x(t)=3e^-t-2e^-2t e y(t)=3e^-t-3e^-2t.

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