Encontre a transformada de Laplace Inversa
f(t)=3 t^2-t^3+1-2 e^-t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer neste exercício é encontrar a transformada de Laplace inversa da função . Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é super útil pra resolver equações diferenciais e muita outra coisa. Pra resolver isso, vamos precisar usar a tabela de transformadas de Laplace inversas e entender algumas propriedades básicas dessas transformadas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma separada nessa função em partes menores para facilitar. Temos quatro termos aí:
A transformada de Laplace é uma operação linear, então a gente pode aplicar a transformada inversa em cada termo individualmente e depois juntar tudo no final.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro termo: L^-1t^n = n!s^n+1 .
Transformada de Laplace Inversa de L^-13 t^2 = 3 cdot 2!s^3 = 6s^3 :
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo: L^-1 - t^3 = - 3!s^4 = -6s^4 .
Usando a mesma fórmula:

Passo 5

O terceiro termo é uma constante: L^-11 = 1s .
Transformada de Laplace Inversa de uma constante:
L^-11 = 1s
Então:

Passo 6

Por fim, temos o quarto termo: L^-1e^-at = 1s + a .
Transformada de Laplace Inversa de L^-1-2 e^-t = -2 cdot 1s + 1 = -2s + 1 :
Aqui, , então:

Resposta

Juntando todos os termos que a gente calculou, a transformada de Laplace inversa de L^-1f(t) = 6s^3 - 6s^4 + 1s - 2s + 1 é:

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