Seja F(t)=f(e^t^2, sin t), onde f(x, y) é uma função dada, diferenciável em R^2.
Calcule F^prime(0) supondo partial fpartial y(1,0)=5.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de F(t)=f(e^t^2,sin t) em t=0. Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, temos
F'(t)=partial fpartial x(e^t^2,sin t)cdotddtl(e^t^2r)+partial fpartial y(e^t^2,sin t)cdotddt(sin t)

Passo 3

Calculando as derivadas das funções internas: ddt(e^t^2)=2t,e^t^2 e ddt(sin t)=cos t.

Passo 4

Para t=0, temos e^0^2=1, sin0=0, ddt(e^t^2)|t=0=0 e cos0=1.

Passo 5

Substituindo em F'(0): F'(0)=partial fpartial x(1,0)cdot0+partial fpartial y(1,0)cdot1=partial fpartial y(1,0)=5

Resposta

5

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