Encontre uma solução contínua satisfazendo cada equação diferencial e a condição inicial dada. (Lembre-se que a solução y deve ser contínua!)
\frac{d y}{d x}+y=f(x) em que f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & x>1\end{array}\right. e y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para achar uma solução contínua de uma equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx} + y = f(x)
com condição inicial y(0)=0\), onde \[f(x)=\begin{cases} 1,&0\le x\le1,\\\\ 0,&x>1. \end{cases}
Como f\] é definida por partes, vamos resolver em cada intervalo em que \(f é constante e depois impor continuidade em x=1.

Passo 2

No intervalo 0\le x\le1, temos f(x)=1 e a equação fica
\frac{dy}{dx}+y=1.
Usamos o fator integrante \mu(x)=e^{\int1\,dx}=e^x. Multiplicando ambos os lados por e^x
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^x\bigr)=e^x\cdot1=e^x.
Integrando de 0 até x:
y(x)\,e^x - y(0)\,e^0 = \int_{0}^{x}e^s\,ds.
Como y(0)=0, o termo inicial some, e
y(x)\,e^x = \bigl[e^s\bigr]_{s=0}^{s=x} = e^x - 1.
Logo
y(x)=1 - e^{-x},\quad 0\le x\le1.

Passo 3

Para x>1, temos f(x)=0, de modo que a equação é homogênea:
\frac{dy}{dx}+y=0.
Isso dá solução geral
y(x)=A\,e^{-x},
onde A é constante a determinar pela condição de continuidade em x=1.

Passo 4

Exigimos que y seja contínua em x=1. Do lado esquerdo (usando a solução para x\le1) temos
y(1^-)=1 - e^{-1}.
Do lado direito (usando y(x)=A e^{-x}) temos
y(1^+)=A\,e^{-1}.
Igualando y(1^-)=y(1^+) obtém-se
A\,e^{-1}=1 - e^{-1} \quad\Longrightarrow\quad A=(1 - e^{-1})\,e^{1}=e-1.

Passo 5

Portanto, a solução contínua do problema de valor inicial é
y(x)= \begin{cases} 1 - e^{-x},&0\le x\le1,\\[6pt] (e-1)\,e^{-x},&x>1. \end{cases}]

Resposta

y(x)= \begin{cases} 1 - e^{-x},&0\le x\le1,\\[6pt] (e-1)\,e^{-x},&x>1. \end{cases}]

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