Encontre uma solução contínua satisfazendo cada equação diferencial e a condição inicial dada. (Lembre-se que a solução y deve ser contínua!) \frac{d y}{d x}+y=f(x) em que f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & x>1\end{array}\right. e y(0)=0
Passo 1
O enunciado pede para achar uma solução contínua de uma equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx} + y = f(x)
com condição inicial y(0)=0\), onde
\[f(x)=\begin{cases} 1,&0\le x\le1,\\\\ 0,&x>1. \end{cases}
Como f\] é definida por partes, vamos resolver em cada intervalo em que \(f é constante e depois impor continuidade em x=1.
Passo 2
No intervalo 0\le x\le1, temos f(x)=1 e a equação fica
\frac{dy}{dx}+y=1.
Usamos o fator integrante \mu(x)=e^{\int1\,dx}=e^x. Multiplicando ambos os lados por e^x dá